1. Định lí về hai tiếp tuyến cắt nhau

Cho con đường tròn(left(O ight))và một điểm(A)nằm ở ngoài đường tròn.(AB,AC)là những tiếp con đường kẻ từ(A)đến(left(O ight))((B,C)là những tiếp điểm).

Bạn đang xem: Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau

Khi đó, ta điện thoại tư vấn góc(BAC)là góc tạo vì 2 tiếp tuyến(AB,AC); góc tạo vị 2 chào bán kính(OB,OC)là góc(BOC).

*

Do(AB,AC)là những tiếp con đường của đường tròn(left(O ight))(Rightarrow ABperp OB;ACperp OC).

Xét tam giác(ABO)và tam giác(ACO)có:

(widehatABO=widehatACO=90^0);

(AO)chung;

(OB=OC)

(RightarrowDelta ABO=Delta ACO)(cạnh huyền - cạnh góc vuông)

(Rightarrowleft{eginmatrixAB=AC\widehatBAO=widehatCAO\widehatBOA=widehatCOAendmatrix ight.)(các cạnh cùng góc tương ứng).

Các kết quả trên không nhờ vào vào biện pháp chọn đường tròn và vị trí của điểm(A).

Như vậy, ta có kết quả được phát biểu trong định lí sau:

Định lí: trường hợp hai tiếp đường của một đường tròn giảm nhau trên một điểm thì

Điểm đó phương pháp đều hai tiếp điểm.Tia kẻ từ điểm đó đi qua trung khu là tia phân giác của góc tạo do hai tiếp tuyến.Tia kẻ từ trung khu đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo vì hai nửa đường kính đi qua các tiếp điểm.

Ví dụ: Cho đường tròn(left(O ight)), điểm(A)nằm ngoài đường tròn. Kẻ những tiếp tuyến(AB,AC)với mặt đường tròn ((B,C)là những tiếp điểm).

a) triệu chứng minh(OAperp BC).

b) Tính các cạnh của tam giác(ABC)biết(OA=4;OB=2).

Lời giải:

*

a) Do(AB,AC)là nhì tiếp tuyến đường của mặt đường tròn(left(O ight))

(Rightarrow AB=AC)(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Mà(OB=OC)

(Rightarrow OA)là con đường trung trực của đoạn thẳng(BC)

(Rightarrow OAperp BC).

b) Gọi(BCcap OA=H)(Rightarrow BCperp OA)tại (H).

Do(AB)là tiếp con đường của mặt đường tròn(left(O ight))nên(ABperp OB).

Áp dụng định lí Pytago ta có:

(AO^2=OB^2+AB^2Rightarrow AB=AC=sqrtOA^2-OB^2=sqrt4^2-2^2=2sqrt3).

Mặt khác, theo câu a, ta có:(Delta ABC)cân tại(A),(AOperp BC)tại(H)

(Rightarrow AH)là trung tuyến(Delta ABC)(Rightarrow H)là trung điểm(BC).

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ta có:

(dfrac1BH^2=dfrac1AB^2+dfrac1OB^2Rightarrowdfrac1BH^2=dfrac13Rightarrow BH=sqrt3)

(Rightarrow BC=2.BH=2sqrt3).

Vậy(AB=AC=BC=2sqrt3).


2. Đường tròn nội tiếp tam giác

Đường tròn nội tiếp tam giác là mặt đường tròn tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác. Khi đó, tam giác được điện thoại tư vấn là tam giác nước ngoài tiếp con đường tròn.Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm bađường phân giác trong của tam giác.

Cụ thể: mang đến tam giác(ABC). Gọi(I)là giao điểm 3 mặt đường phân giác trong của tam giác.(D,E,F)lần lượt là chân con đường vuông góc kẻ từ(I)đến những cạnh(BC,AC,AB).

*

Dễ dàng chứng minh được(ID=IE=IF=r). Lúc đó, mặt đường tròn(left(I;r ight))là con đường tròn nội tiếp tam giác(ABC), còn tam giác(ABC)ngoại tiếp con đường tròn(I).

Chú ý: mỗi tam giác chỉ tất cả duy tốt nhất một con đường tròn nội tiếp.


3. Đường tròn bàng tiếp tam giác

Đường tròn bàng tiếp tam giác là mặt đường tròn xúc tiếp với mộtcạnh tam giác và tiếp xúc với các phần kéo dài của nhì cạnh còn lại.Tâm của mặt đường tròn bàng tiếp là giao điểm một đường phân giác trongmột đường phân giác ngoài (hoặc giao điểm của hai đường phân giác ngoài) của tam giác.

Cụ thể: mang đến tam giác(ABC). Gọi(K)là giao điểm hai tuyến phố phân giác quanh đó của cácgóc(B,C). Gọi(D,E,F)lần lượt là chân mặt đường vuông góc kẻ từ(K)đến các cạnh(BC,AC,AB).

*

Dễ dàng chứng minh được(KD=KE=KF=r"), đồng thời(KA)là phân giác của góc(BAC). Khi đó,(left(K;r" ight))là mặt đường tròn bàng tiếp của(Delta ABC).

Xem thêm: Di Truyền Mendel - Câu 18: Bản Chất Quy Luật Phân Li Của Menđen Là

Trong hình trên, con đường tròn(left(K;r" ight))là con đường tròn bàng tiếp trong góc(A). Mỗi góc của tam giác(ABC)đều có một mặt đường tròn bàng tiếp.