Các em thân mến, câu rút gọn biểu thức chứa căn thường chỉ chiếm 2 điểm vào đề thi vào 10 của toàn bộ các tỉnh giấc thành trên cả nước. Trong bài viết này hệ thống giáo dục hutgiammo.com vẫn hướng dẫn phương pháp giải bài toán "Rút gọn biểu thức cất can bậc hai". Đây là tài liệu bổ ích giúp những em học sinh lớp 8 lên 9, để sẵn sàng kiến thức mang lại năm học lớp 9 với ôn thi vào 10 thiệt tốt. Kính mời quý phụ huynh, thầy cô và các em học sinh cùng xem thêm !
Tải file PDF trên link: rut-gon-bieu-thuc-chua-can-bac-hai-tl310.html
I) LÝ THUYẾT- Để rút gọn các biểu thức chứa căn phải vận dụng tương thích các phép toán đơn giản dễ dàng như: chuyển thừa số ra bên ngoài dấu căn, vào trong vết căn, trục căn thức sinh sống mẫu, áp dụng hằng đẳng thức để phân tích thành nhân tử cùng tìm mẫu thức chung ...
Bạn đang xem: Rút gọn biểu thức lớp 9
- Nếu vấn đề chưa cho điều kiện của $x$ thì ta cần phải tìm điều kiện trước lúc rút gọn.
- trong số đề thi Toán vào 10, sau khoản thời gian rút gọn biểu thức, ta thường gặp mặt các bài xích toán tương quan như:
+) Tính quý hiếm của A tại $x=x_0$
+) tra cứu $x$ nhằm A > m; A II) BÀI TẬP
Bài 1: cho K = $2left( frac1sqrtx-1-frac1sqrtx ight):left( fracsqrtx+1x^2-x ight)$ (với $x>0;x e 1$)
a) Rút gọn biểu thức K.b) tìm $x$ nhằm K = $sqrt2012$Bài giải:
K = $2left( frac1sqrtx-1-frac1sqrtx ight):left( fracsqrtx+1x^2-x ight)=2left< fracsqrtx-sqrtx+1left( sqrtx-1 ight)sqrtx ight>:fracsqrtx+1xleft( sqrtx-1 ight)left( sqrtx+1 ight)$
$=frac2sqrtx.left( sqrtx-1 ight):frac1xleft( sqrtx-1 ight)=2sqrtx$
b) Để K = $sqrt2012$ thì $2sqrtx=sqrt2012$$Leftrightarrow 2sqrtx=2sqrt503$
$Leftrightarrow x=503$ (thỏa mãn điều kiện)
Vậy $x=503$
Bài 2: đến hai biểu thức A = $frac4left( sqrtx+1 ight)25-x$ và B = $left( frac15-sqrtxx-25+frac2sqrtx+5 ight):fracsqrtx+1sqrtx-5$ cùng với $xge 0;x e 25$
1) Tính giá trị của biểu thức A lúc $x=9$
2) Rút gọn biểu thức B.
3) Tìm tất cả các cực hiếm nguyên của $x$ để biểu thức P=A.B đạt cực hiếm nguyên phệ nhất.
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán, thành phố hà nội năm học tập 2019 – 2020)
Bài giải:
1) cùng với $x=9$ ta có:
A = $frac4left( sqrt9+1 ight)25-9=frac4left( 3+1 ight)16=1$
Vậy cùng với $x=9$ thì quý giá của biểu thức A là: 1.
2) với $xge 0;x e 25$ ta có:
B = $left( frac15-sqrtxx-25+frac2sqrtx+5 ight):fracsqrtx+1sqrtx-5=frac15-sqrtx+2left( sqrtx-5 ight)left( sqrtx-5 ight)left( sqrtx+5 ight):fracsqrtx+1sqrtx-5$
$=fracsqrtx+5left( sqrtx-5 ight)left( sqrtx+5 ight).fracsqrtx-5sqrtx+1=frac1sqrtx+1$
3) với $xge 0;x e 25$ ta có:
P = A.B = $frac4left( sqrtx+1 ight)25-x.frac1sqrtx+1=frac425-x$
+) với $25-x25$ thì phường 0,,,,,,Leftrightarrow ,,,x 0
Để p nhận giá trị lớn nhất thì $25-x>0$ và $25-x$ thừa nhận giá trị bé dại nhất.
Mà: $x$ là số nguyên buộc phải $25-x=1,,,,Leftrightarrow ,,x=24$
Vậy p. Nhận giá trị lớn số 1 là: phường = $frac425-24=4$ lúc $x=24$
Bài 3: cho hai biểu thức A = $fracsqrtx+4sqrtx-1$ cùng B = $frac3sqrtx+1x+2sqrtx-3-frac2sqrtx+3$ với $xge 0;x e 1$.
1) Tính cực hiếm của biểu thức A khi $x=9$.
2) bệnh minh: B = $frac1sqrtx-1$
3) Tìm toàn bộ các quý giá của $x$ nhằm $fracABge fracx4+5$
(Đề thi tuyển chọn sinh vào lớp 10 môn Toán, thành phố thủ đô hà nội năm học 2018 – 2019)
Bài giải:
1) với $x=9$(thỏa mãn điều kiện của biểu thức A) ta có:
A = $fracsqrt9+4sqrt9-1=frac72$
Vậy với $x=9$ thì giá trị của biểu thức A là: $frac72$
2) với $xge 0;x e 1$, ta có:
B = $frac3sqrtx+1x+2sqrtx-3-frac2sqrtx+3=frac3sqrtx+1left( sqrtx+3 ight)left( sqrtx-1 ight)-frac2sqrtx+3$
$=frac3sqrtx+1-2left( sqrtx-1 ight)left( sqrtx+3 ight)left( sqrtx-1 ight)=fracsqrtx+3left( sqrtx+3 ight)left( sqrtx-1 ight)=frac1sqrtx-1$
Vậy với $xge 0;x e 1$ thì B = $frac1sqrtx-1$
3) với $xge 0;x e 1$, ta có:
$eginalign & fracABge fracx4+5,,,,,,,Leftrightarrow fracsqrtx+4sqrtx-1:frac1sqrtx-1ge fracx4+5 \ & Leftrightarrow sqrtx+4ge fracx4+5 \ & Leftrightarrow x-4sqrtx+4le 0 \ và Leftrightarrow left( sqrtx-2 ight)^2le 0 \ & Leftrightarrow sqrtx-2=0 \ endalign$
$Leftrightarrow x=4$ (thỏa mãn điều kiện)
Vậy $x=4$
Bài 4: cho hai biểu thức A = $fracsqrtx+2sqrtx-5$ với B = $frac3sqrtx+5+frac20-2sqrtxx-25$ với $xge 0,x e 25$.
1) Tính quý hiếm của biểu thức A khi $x=9$
2) minh chứng B = $frac1sqrtx-5$
3) Tìm tất cả giá trị của $x$ nhằm $A=B.|x-4|$
(Đề thi tuyển chọn sinh vào lớp 10 môn Toán, thành phố thành phố hà nội năm học tập 2017 – 2018)
Bài giải:
1) với $x=9$ (thỏa mãn điều kiện khẳng định của biểu thức A) ta có:
A = $fracsqrt9+2sqrt9-5=-frac52$
Vậy cùng với $x=9$ thì A = $-frac52$
2) cùng với $xge 0,x e 25$ ta có:
B = $frac3sqrtx+5+frac20-2sqrtxx-25=frac3sqrtx+5+frac20-2sqrtxleft( sqrtx+5 ight)left( sqrtx-5 ight)$
$=frac3left( sqrtx-5 ight)+20-2sqrtxleft( sqrtx+5 ight)left( sqrtx-5 ight)=fracsqrtx+5left( sqrtx+5 ight)left( sqrtx-5 ight)=frac1sqrtx-5$
Vậy B = $frac1sqrtx-5$ (điều phải chứng minh)
3) cùng với $xge 0,x e 25$ ta có:
$eginalign & A=B.|x-4|,,,,,Leftrightarrow fracsqrtx+2sqrtx-5=frac1sqrtx-5.|x-4| \ & Leftrightarrow sqrtx+2=|x-4| \ endalign$
Chú ý những dạng toán về cực hiếm tuyệt đối: Dạng 1: $|fleft( x ight)|=k$ trong số ấy $fleft( x ight)$ là biểu thức chứa trở thành $x$ , k là một trong những cho trước. Phương pháp giải: Nếu k 0 thì $|fleft( x ight)|=k,,,Leftrightarrow left< eginalign & fleft( x ight)=k \ & fleft( x ight)=-k \ endalign ight.$ Dạng 2: $|fleft( x ight)|=|gleft( x ight)|$ Cách giải: $|fleft( x ight)|=|gleft( x ight)|,,,,,Leftrightarrow left< eginalign và fleft( x ight)=gleft( x ight) \ & fleft( x ight)=-gleft( x ight) \ endalign ight.$ Dạng 3: $|fleft( x ight)|=gleft( x ight)$ (1) Cách giải: +) ví như $fleft( x ight)ge 0$ thì (1) trở thành: $fleft( x ight)=gleft( x ight)$ Giải phương trình với kiểm tra đk $fleft( x ight)ge 0$ +) nếu như $fleft( x ight) |
+) với $x-4ge 0,,,,Leftrightarrow xge 4$ phương trình trở thành:
$eginarray*35l ext !!~!! ext & sqrtx+2=x-4 \ ext !!~!! ext và Leftrightarrow x-sqrtx-6=0 \ ext !!~!! ext và Leftrightarrow left( sqrtx+2 ight)left( sqrtx-3 ight)=0 \ ext !!~!! ext và \endarray$
$Leftrightarrow left< eginalign & sqrtx+2=0 \ & ext !!~!! ext sqrtx-3=0 \ endalign ight.Leftrightarrow left< eginarray*35l ext !!~!! ext và sqrtx=-2(KTM) \ ext !!~!! ext & sqrtx=3 \endarray ight.Leftrightarrow x=9(TM)$
+) với $x-40;x e 4$.
1) Tính cực hiếm của biểu thức p khi $x=9$.
2) Rút gọn biểu thức Q.
3) Tìm cực hiếm của $x$ để biểu thức $fracPQ$ đạt giá bán trị nhỏ tuổi nhất.
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán, thành phố tp hà nội năm học năm ngoái – 2016)
Bài giải:
1) với $x=9$ (thỏa mãn điều kiện xác định của P) ta có:
P = $frac9+3sqrt9-2=12$
Vậy cùng với $x=9$ thì quý giá của biểu thức p. Là: 12.
2) cùng với $x>0;x e 4$ ta có:
Q = $fracsqrtx-1sqrtx+2+frac5sqrtx-2x-4=fracsqrtx-1sqrtx+2+frac5sqrtx-2left( sqrtx-2 ight)left( sqrtx+2 ight)=fracleft( sqrtx-1 ight)left( sqrtx-2 ight)+5sqrtx-2left( sqrtx-2 ight)left( sqrtx+2 ight)$
$=fracx+2sqrtxleft( sqrtx-2 ight)left( sqrtx+2 ight)=fracsqrtxleft( sqrtx+2 ight)left( sqrtx-2 ight)left( sqrtx+2 ight)=fracsqrtxsqrtx-2$
Vậy Q = $fracsqrtxsqrtx-2$
3) với $x>0;x e 4$ ta có:
$fracPQ=fracx+3sqrtx-2:fracsqrtxsqrtx-2=fracx+3sqrtx=sqrtx+frac3sqrtx$
Theo bất đẳng thức Cô-si ta có:
$sqrtx+frac3sqrtxge 2sqrtx.frac3sqrtx=2sqrt3$
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $sqrtx=frac3sqrtx,,,,Leftrightarrow x=3$ (thỏa mãn điều kiện)
Vậy giá bán trị nhỏ nhất của biểu thức $fracPQ$ là $2sqrt3$ khi $x=3$
Bài 7: mang đến biểu thức A = $fracleft( sqrtx+1 ight)^2+left( sqrtx-1 ight)^2left( sqrtx-1 ight)left( sqrtx+1 ight)-frac3sqrtx+1x-1$ cùng với $xge 0;,,,x e 1$.
a) Rút gọn gàng biểu thức A.b) tra cứu $x$ là số bao gồm phương để $2019.A$ là số nguyên.(Đề thi tuyển chọn sinh vào lớp 10 môn Toán, tỉnh thành phố bắc ninh năm học 2019 – 2020)
Bài giải:
a) cùng với $xge 0;,,,x e 1$ ta có:A = $fracleft( sqrtx+1 ight)^2+left( sqrtx-1 ight)^2left( sqrtx-1 ight)left( sqrtx+1 ight)-frac3sqrtx+1x-1=fracx+2sqrtx+1+x-2sqrtx+1left( sqrtx+1 ight)left( sqrtx-1 ight)-frac3sqrtx+1left( sqrtx-1 ight)left( sqrtx+1 ight)$
$=frac2x+2left( sqrtx+1 ight)left( sqrtx-1 ight)-frac3sqrtx+1left( sqrtx+1 ight)left( sqrtx-1 ight)=frac2x-3sqrtx+1left( sqrtx+1 ight)left( sqrtx-1 ight)=fracleft( 2sqrtx-1 ight)left( sqrtx-1 ight)left( sqrtx+1 ight)left( sqrtx-1 ight)=frac2sqrtx-1sqrtx+1$
b) với $xge 0;,,,x e 1$ ta có:$2019.A=2019.frac2sqrtx-1sqrtx+1=2019.left( 2-frac3sqrtx+1 ight)=4038-frac6057sqrtx+1$
Vì $x$ là số chủ yếu phương đề xuất $sqrtx+1$ là số từ nhiên.
Để x$2019.A$ là số nguyên thì $frac6057sqrtx+1$ cũng là số nguyên.
Mà: $sqrtx+1$ là số tự nhiên và thoải mái nên $sqrtx+1in ext !!\!! ext 1;3;9;2019;6057$
Ta tất cả bảng sau:
$sqrtx+1$ | 1 | 3 | 9 | 2019 | 6057 |
$x$ | 0 | 4 | 64 | $2018^2$ | $6056^2$ |
Vậy $xin ext !!\!! ext 0;4;64;2018^2;6056^2 ext !!\!! ext $
Bài 8: cho biểu thức p = $frac3x+5sqrtx-4left( sqrtx+3 ight)left( sqrtx-1 ight)-fracsqrtx+1sqrtx+3+fracsqrtx+3sqrtx-1$ cùng với $xge 0;x e 1$.
1) Rút gọn gàng biểu thức P.
2) kiếm tìm $x$ sao để cho P = $-frac12$
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán, tỉnh tỉnh thái bình năm học tập 2017 – 2018)
Bài giải:
1) với $xge 0;x e 1$ ta có:
P = $frac3x+5sqrtx-4left( sqrtx+3 ight)left( sqrtx-1 ight)-fracsqrtx+1sqrtx+3+fracsqrtx+3sqrtx-1$
P = $frac3+5sqrtx-4left( sqrtx+3 ight)left( sqrtx-1 ight)-fracleft( sqrtx+1 ight)left( sqrtx-1 ight)left( sqrtx+3 ight)left( sqrtx-1 ight)+fracleft( sqrtx+3 ight)^2left( sqrtx+3 ight)left( sqrtx-1 ight)$
P = $frac3x+5sqrtx-4-x+1+x+6sqrtx+9left( sqrtx+3 ight)left( sqrtx-1 ight)$
P = $frac3x+11sqrtx+6left( sqrtx+3 ight)left( sqrtx-1 ight)=fracleft( sqrtx+3 ight)left( 3sqrtx+2 ight)left( sqrtx+3 ight)left( sqrtx-1 ight)=frac3sqrtx+2sqrtx-1$
2) với $xge 0;x e 1$ ta có:
Để phường = $-frac12$ thì $frac3sqrtx+2sqrtx-1=-frac12$
$eginalign và Leftrightarrow frac6sqrtx+4+left( sqrtx-1 ight)2left( sqrtx-1 ight)=0 \ & Leftrightarrow frac7sqrtx+32left( sqrtx-1 ight)=0 \ endalign$
$Leftrightarrow 7sqrtx+3=0$ (không có giá trị làm sao của $x$ thỏa mãn)
Vậy không có giá trị làm sao của $x$ để phường = $-frac12$
Bài 9: Cho phường = $frac1x^2-sqrtx:fracsqrtx+1xsqrtx+x+sqrtx$ với $x>0;x e 1$.
1) Rút gọn biểu thức P.
2) Tìm những giá trị của $x$ làm sao để cho 3P = $1+x$
(Đề thi tuyển chọn sinh vào lớp 10 môn Toán, tỉnh nam giới Định năm học 2017 – 2018)
Bài giải:
1) cùng với $x>0;x e 1$ ta có:
P = $frac1x^2-sqrtx:fracsqrtx+1xsqrtx+x+sqrtx=frac1sqrtxleft< left( sqrtx ight)^3-1 ight>:fracsqrtx+1sqrtxleft( x+sqrtx+1 ight)$
$=frac1sqrtxleft( sqrtx-1 ight)left( x+sqrtx+1 ight).fracsqrtxleft( x+sqrtx+1 ight)sqrtx+1=frac1left( sqrtx-1 ight)left( sqrtx+1 ight)=frac1x-1$
Vậy phường = $frac1x-1$
2) với $x>0;x e 1$ ta có:
Để 3P = $1+x$ thì $3.frac1x-1=1+x$
$eginarray*35l ext !!~!! ext và Leftrightarrow 3=left( x-1 ight)left( x+1 ight) \ ext !!~!! ext & Leftrightarrow 3=x^2-1 \ & Leftrightarrow x^2=4 \ và \endarray$
$Leftrightarrow left< eginarray*35l ext !!~!! ext và x=2(TM) \ ext !!~!! ext và x=-2(KTM) \endarray ight.$
Vậy nhằm 3P = $1+x$ thì $x=2$
Bài 10: 1) cho biểu thức A = $frac2sqrtx+1sqrtx+2$ (với $xge 0$). Tính quý hiếm của A khi $x=9$.
Xem thêm: Chất Điện Li Mạnh Và Yếu, Nêu Cách Nhận Biết Chất Điện Li Mạnh Hay Yếu
2) mang lại biểu thức B = $left( fracx+14sqrtx-5x-25+fracsqrtxsqrtx+5 ight):fracsqrtx+2sqrtx-5$ cùng với $xge 0$ cùng $x e 25$ .
a) Rút gọn gàng B.b) tra cứu $x$ nhằm $B^2(Đề thi thử vào 10 môn Toán, trường THCS và THPT Lương rứa Vinh năm học 2019 – 2020)
Bài giải:
1) vậy $x=9$ (thỏa mãn điều kiện khẳng định của A) ta có:
A = $frac2sqrt9+1sqrt9+2=frac75$
Vậy với $x=9$ thì quý giá của biểu thức A là: $frac75$
2) với $xge 0$ và $x e 25$ ta có:
a) B = $left( fracx+14sqrtx-5x-25+fracsqrtxsqrtx+5 ight):fracsqrtx+2sqrtx-5=left( fracx+14sqrtx-5left( sqrtx+5 ight)left( sqrtx-5 ight)+fracsqrtxsqrtx+5 ight):fracsqrtx+2sqrtx-5$$eginalign và =fracx+14sqrtx-5+sqrtxleft( sqrtx-5 ight)left( sqrtx+5 ight)left( sqrtx-5 ight).fracsqrtx-5sqrtx+2 \ và =frac2x+9sqrtx-5left( sqrtx-5 ight)left( sqrtx+5 ight).fracsqrtx-5sqrtx+2=fracleft( 2sqrtx-1 ight)left( sqrtx+5 ight)left( sqrtx-5 ight)left( sqrtx+5 ight).fracsqrtx-5sqrtx+2 \ & =frac2sqrtx-1sqrtx+2 \ endalign$
Vậy B = $frac2sqrtx-1sqrtx+2$
b) Để $B^2$eginalign và Leftrightarrow Bleft( B-1 ight)
Suy ra: $0hóa học Toán lớp 9 tại link:
Toán lớp 9: vina-1-on-va-luyen-toan-9-c14781.html
Khóa học tập Ôn thi vào 10 tại link:
Ôn thi vào 10: khoa-hoc-luyen-thi-vao-lop-10-mon-toan-dat-diem-cao-c12902.html
Tác giả: hutgiammo.com
********************************
Hỗ trợ học tập:
_Kênh Youtube:http://bit.ly/hutgiammo.comvn_tieuhoc
_Hội học viên hutgiammo.com Online:https://www.facebook.com/groups/online.hutgiammo.com/