1. Hệ thức thân cạnh góc vuông với hình chiếu của chính nó trên cạnh huyền
Trong tam giác vuông, bình phương từng cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền cùng hình chiếu của cạnh góc vuông trên cạnh huyền.
Bạn đang xem: Hệ thức đường cao trong tam giác vuông
Trong tam giác ABC vuông tại A ta có: b2 = a.b"; c2 = a.c"
2. Một vài hệ thức liên quan đến mặt đường cao
a) Định lý 1
vào một tam giác vuông, bình phương con đường cao ứng với cạnh huyền bởi tích hai hình chiếu của cạnh góc vuông trên cạnh huyền
vào tam giác ABC vuông tại A ta có: h2 = b".c".
b) Định lý 2
vào một tam giác vuông, tích của nhì cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền với mặt đường cao tương ứng
trong tam giác ABC vuông trên A ta có: a.h = b.c
c) Định lý 3
vào tam giác vuông, nghịch hòn đảo của bình phương mặt đường cao ứng cùng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch hòn đảo của bình phương nhì cạnh góc vuông.
trong tam giác ABC vuông trên A ta có:
3. Các dạng toán hay gặp về một số hệ thức về cạnh và con đường cao trong tam giác vuông
Dạng 1: Tính độ dài những đoạn trực tiếp trong tam giác vuông
Phương pháp giải: cho tam giácABC vuông tại A, đường cao AH. Nếu biết độ lâu năm hai trong sáu đoạn thẳng AB, AC, BC, HA, HB, HC thì ta luôn luôn tính được độ dài bốn đoạn thẳng còn sót lại bằng việc vận dụng những hệ thức (1)→(5)
Dạng 2: Chứng minh các hệ thức liên quan đến tam giác vuông
Phương pháp giải: Sử dụng những hệ thức về cạnh và đường cao một cách hợp lý theo hướng:
Bước 1. Chọn những tam giác vuông phù hợp chứa những đoạn thẳng có trong hệ thức.
Bước 2. Tính những đoạn thẳng đó nhờ hệ thức về cạnh và đường cao.
Bước 3. Liên kết các giá trị trên để rút ra hệ thức buộc phải chứng minh.
Chú ý: hoàn toàn có thể vẽ thêm hình phụ để chế tạo thành tam giác vuông hoặc chế tạo thành con đường cao vào tam giác vuông từ kia vận dụng những hệ thức.
4. Ví dụ nạm thể
Cho tam giác ABC vuông trên A, mặt đường cao AH. Biết AB:AC = 3:4 với AB + AC = 21cm.
a) Tính các cạnh của tam giác ABC.
b) Tính độ dài những đoạn AH, BH, CH.
Hướng dẫn:
Do đó AB = 3.3 = 9 (cm); AC = 3.4 = 12 (cm).
Tam giác ABC vuông tại A, theo định lý Py – ta – go ta có:
BC2 = AB2 + AC2 = 92 + 122 = 225, suy ra BC = 15cm
b) Tam giác ABC vuông trên A, ta gồm AH.BC = AB.AC, suy ra
AH2 = BH.HC. Đặt bảo hành = x (0 2 = x(15 - x) ⇔ x2 - 15x + 51,84 = 0 ⇔ x(x - 5,4) = 9,6(x - 5,4) = 0 ⇔ (x - 5,4)(x - 9,6) = 0 ⇔ x = 5,4 hoặc x = 9,6 (loại)
Vậy bảo hành = 5,4cm. Từ đó HC = BC - bảo hành = 9,6 (cm).
Chú ý: Có thể tính bảo hành như sau:
AB2 = BH.BC suy ra
5. Bài xích tập trường đoản cú luận
Bài 1: Tính x, y trong số trường phù hợp sau
Hướng dẫn giải
a, Áp dụng định lý py-ta-go vào tam giác vuông ABC có:
BC2= AB2+ AC2
BC2= 52+ 72
BC2= 74
Suy ra BC = √74
Áp dụng hệ thức lượng vào tam giac vuông ABC: AB2 = BD.BC
=> BD = AB2/BC => x = 25/√74
DC = BC - BD = √74 - 25/√74 = 49/√74
Vậy x = 25/√74 cùng y = 49/√74
b) Ta có: BC= BD + DC = 2 + 6 = 8
Áp dụng hệ thức lượng ta có:
AB2= BD.BC = 2.8 = 16. Suy ra AB = 4 tốt x = 4.
AC2= DC.BC = 6.8 = 48. Suy ra AC = √48 tốt y = √48
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Tính BC, AC, AH biết AB = 15cm, HC = 16cm.
Hướng dẫn giải
Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông ABC có:
AC2 = CH.BC = 16.BC
AB2 + AC2 = BC2
⇔ 152 + 16.BC = BC2
⇔ BC2 - 16.BC - 225 = 0
⇔ BC2 - 25BC + 9BC - 225 = 0
⇔ BC(BC - 25) + 9(BC - 25) = 0
⇔ (BC - 25)(BC + 9) = 0
⇔ BC = 25 hoặc BC = -9(loại)
=> AC2 = 16.BC = 16.25 = 400
=> AC = 20
+ Xét tam giác vuông ABC có: AH.BC = AB.AC (hệ thức lượng)
Vậy BC=25(cm); AC=20(cm); AH=12(cm)
Bài 3: Cho tam giác ABC tất cả AB = 48cm, BC = 50cm, AC = 14cm. Tính độ nhiều năm phân giác giác góc C
Hướng dẫn giải
Xét tam giác ABC, ta có
BC2 = 502 = 2500
AB2 + AC22 = 142 + 482 = 2500
=> BC2 = AB2 + AC2
=> Tam giác ABC vuông trên A
Có DA/DB = CA/CB = 14/50 = 7/25 (tính chất tia phân giác)
=> DB = 25/7 DA.
Xem thêm: Cách Giải Hệ Phương Trình Lớp 9, 20 Sgk Toán 9 Tập 2, Cách Giải Hệ Phương Trình
Ta gồm DA + DB = AB
⇔ da + 25/7 domain authority = AB ⇔ DA. 32/7 = 48 ⇔ domain authority = 10,5cm
Xét tam giác vuông ACD, theo đinh lí Pi-ta-go ta có
CD2 = AC2 + AD2 = 142 + 10,52 = 306,25 => CD = 17,5cm
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông trên A, AB=24cm, AC=32cm. Đường trung trực của BC giảm AC, BC theo sản phẩm tự D và E. Tính DE.