Là một trong các dạng toán giải hệ phương trình, giải bài bác toán bằng phương pháp lập hệ phương trình gây bồn chồn cho không ít em khi gặp mặt dạng toán này. Làm sao để giải toán bằng phương pháp lập hệ phương trình? là câu hỏi của tương đối nhiều em đặt ra.

Bạn đang xem: Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình


Vậy công việc giải bài bác toán bằng cách lập hệ phương trình ở lớp 9 ra sao? có bí quyết gì để giải bài xích toán bằng cách lập hệ phương trình được cấp tốc và chủ yếu xác? bọn họ cùng tìm hiểu qua nội dung bài viết này nhé.

I. Quá trình giải toán bằng cách lập hệ phương trình

• Tương tự như công việc giải toán bằng cách lập phương trình, quá trình giải toán bằng cách lập hệ phương trình gồm 3 cách sau:

+ cách 1: Lập hệ phương trình:

- chọn ẩn (thường là các đại lượng nên tìm) và đặt điều kiện phù hợp cho chúng.

- Biểu diễn những đại lượng không biết theo các ẩn và những đại lượng sẽ biết.

- Lập hệ phương trình thể hiện mối quan hệ tình dục giữa những đại lượng

+ cách 2: Giải hệ phương trình vừa lập (thường sử dụng phương pháp thế hoặc cách thức cộng đại số).

+ bước 3: kiểm tra xem các nghiệm của hệ phương trình có thỏa mãn điều kiện đặt ra và kết luận.

* ví dụ như 1 (Bài 28 trang 22 SGK Toán 9 Tập 2): Tìm nhị số trường đoản cú nhiên, hiểu được tổng của chúng bởi 1006 cùng nếu mang số béo chia mang lại số bé dại thì được thương là 2 với số dư là 124.

* Lời giải:

- hotline số bự là x, số nhỏ là y (x, y ∈ N*); x,y > 124.

- Tổng nhị số bằng 1006 phải ta có: x + y = 1006

- Số khủng chia số nhỏ dại được yêu mến là 2, số dư là 124 (vì số bị phân chia = số chia. Yêu thương + số dư) cần ta có: x = 2y + 124.

⇒ Ta gồm hệ phương trình:

 

*
*

(lưu ý: quá trình giải hệ có thể được viết ngắn gọn)

→ Vậy hai số tự nhiên phải tra cứu là 712 và 294.

* lấy một ví dụ 2 (Bài 29 trang 22 SGK Toán 9 Tập 2): Giải vấn đề cổ sau:

 Quýt, cam mười bảy trái tươi

Đem chia cho một trăm người cùng vui

 Chia bố mỗi trái quýt rồi

Còn cam từng quả chia mười vừa xinh

 Trăm người, trăm miếng ngọt lành

Quýt, cam mỗi loại tính rành là bao?

* Lời giải

- call số cam là x, số quýt là y (x, y ∈ N* ; x * lấy một ví dụ 3 (Bài 30 trang 22 SGK Toán 9 Tập 2): Một ô tô đi tự A và dự định đến B lức 12 giờ trưa. Trường hợp xe chạy với tốc độ 35 km/h thì sẽ tới B chậm 2 tiếng so cùng với dự đinh. Ví như xe chạy với gia tốc 50 km/h thì sẽ đến B nhanh chóng 1 giờ so với dự định. Tính độ nhiều năm quãng con đường AB và thời gian xuất vạc của ô-tô tại A.

* Lời giải:

 - hotline x (km) là độ nhiều năm quãng con đường AB, y (giờ) là thời hạn dự định đi để đến B đúng khi 12 tiếng trưa.

- Điều khiếu nại x > 0, y > 1 (do ôtô đến B sớm rộng 1 giờ so với dự định).

+ với v = 35km/h thì thời gian đi không còn quãng đường AB là : t = x/35 (giờ)

Ô đánh đến chậm trễ hơn 2 tiếng so với ý định ⇒ x/35 = y + 2 ⇔ x = 35y + 70. (1)

+ cùng với v = 50 km/h thì thời hạn đi không còn quãng đường AB là : t=x/50 (giờ)

Ô tô cho sớm hơn 1h so với dự tính ⇒ x/50 = y - 1 ⇔ x = 50y – 50. (2)

Từ (1) với (2) ta bao gồm hệ phương trình: 

*

- Ta thấy x,y vừa lòng điều kiện cần quãng 

*
 giờ đầy bể. Nếu thuở đầu chỉ mở vòi đầu tiên và 9h sau mới được mở thêm vòi trang bị hai thì sau 
*
 giờ nữa bắt đầu đầy bể. Hỏi giả dụ ngay từ đầu chỉ mở vòi trang bị hai thì sau bao lâu new đầy bể?

* Lời giải:

- điện thoại tư vấn lượng nước vòi trước tiên và vòi trang bị hai chảy 1 mình trong 1 giờ theo thứ tự là x (bể) với y (bể). Điều kiện 0 * lấy một ví dụ 6 (Bài 33 trang 24 SGK Toán 9 Tập 2): Hai người thợ cùng làm cho một công việc trong 16 giờ đồng hồ thì xong. Giả dụ người trước tiên làm 3 giờ và tín đồ thứ hai làm 6 giờ thì chỉ kết thúc được 25% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi cá nhân hoàn thành các bước đó trong bao lâu?

* Lời giải:

- Gọi thời gian để người đầu tiên và người thứ hai một mình hoàn thành quá trình lần lượt là x (giờ) với y (giờ). (Điều khiếu nại x, y > 16).

⇒ trong một giờ, người đầu tiên làm được 1/x (công việc); tín đồ thứ hai làm được 1/y (công việc).

- Cả hai fan cùng làm sẽ trả thành quá trình trong 16 giờ đề nghị ta gồm phương trình 

*

+ Người thứ nhất làm vào 3 giờ, tín đồ thứ hai làm trong 6 giờ đồng hồ thì hoàn thành 25%=1/4 công câu hỏi nên ta bao gồm phương trình

*

Từ (1) và (2) ta bao gồm hệ phương trình:

*

Đặt 

*
 thì hệ phương trình bên trên trở thành:

*

 

*

 

*

- Ta thấy x, y thỏa điều kiện nên nếu làm cho riêng, người thứ nhất hoàn thành các bước sau 24 giờ đồng hồ và bạn thứ nhì hoàn thành công việc trong 48 giờ.

* lấy ví dụ như 7 (Bài 34 trang 24 SGK Toán 9 Tập 2): Nhà Lan có một mảnh vườn trồng rau cải bắp. Vườn cửa được tấn công thành nhiều luống, từng luống trồng cùng một số cây cải bắp. Lan tính rằng: Nếu tăng lên 8 luống rau, tuy nhiên mỗi luống trồng không nhiều đi 3 cây thì số lượng km toàn vườn không nhiều đi 54 cây. Nếu giảm sút 4 luống, nhưng mà mỗi luống trồng tăng lên 2 cây thì số rau xanh toàn vườn cửa sẽ tăng lên 32 cây. Hỏi vườn đơn vị Lan trồng bao nhiêu cây rau xanh cải bắp?

* Lời giải:

- hotline x là số luống rau, y là số cây mỗi luống. Điều khiếu nại x > 4, y > 3; x,y ∈ N

- số cây trong vườn là: x.y (cây)

+ Tăng 8 luống, từng luống thấp hơn 3 cây thì số luống là x + 8, số cây từng luống là y – 3

⇒ Tổng số km trong sân vườn là (x + 8)(y – 3) cây.

- số lượng km trong vườn ít đi 54 cây nên ta có phương trình:

(x + 8)(y – 3) = xy – 54

⇔ xy -3x + 8y - 24 = xy – 54

⇔ xy -3x + 8y - xy = –54 + 24

⇔ -3x + 8y = –30

⇔ 3x – 8y = 30 (1)

+ bớt 4 luống mỗi luống tạo thêm 2 cây thì số luống là x – 4 với số cây mỗi luống là y + 2.

⇒ số lượng km trong sân vườn là: (x – 4)(y + 2) cây

Số cây trong vườn tăng thêm 32 cây nên ta có phương trình:

(x – 4)(y + 2) = xy + 32

⇔ xy – 4y + 2x – 8 = xy + 32

⇔ x – 2y = đôi mươi (2)

Từ (1) và (2) ta bao gồm hệ phương trình

*

- Ta thấy x, y thỏa đk nên số rau cải bắp đơn vị Lan trồng là : 15.50 = 750 cây.

* lấy ví dụ 8 (Bài 35 trang 24 SGK Toán 9 Tập 2): (Bài toán cổ Ấn Độ) . Số tiền thiết lập 9 trái thanh yên và 8 quả táo bị cắn dở rừng thơm là 107 rupi. Số tiền cài 7 quả thanh yên và 7 quả táo rừng thơm là 91 rupi. Hỏi giá bán mỗi trái thanh yên cùng mỗi quả táo bị cắn dở rừng thơm là bao nhiêu rupi?

* Lời giải:

- gọi x (rupi) là chi phí mỗi quả thanh yên.

- gọi y (rupi) là mức giá mỗi quả táo bị cắn dở rừng thơm.

Điều khiếu nại x > 0, y > 0.

- cài đặt 9 trái thanh yên và 8 quả hãng apple rừng thơm hết 107 rupi

⇒ 9x + 8y = 107. (1)

- download 7 quả thanh yên và 7 quả táo bị cắn rừng thơm là 91 rupi

⇒ 7x + 7y = 91 ⇔ x + y = 13. (2)

Từ (1) với (2) ta gồm hệ phương trình:

*

→ Vậy giá mỗi quả thanh lặng là 3 rupi cùng mỗi quả táo bị cắn dở rừng thơm là 10 rupi.

* ví dụ như 9 (Bài 36 trang 24 SGK Toán 9 Tập 2): Điểm số mức độ vừa phải của một chuyên chở viên bắn súng sau 100 lần phun là 8,69 điểm. Hiệu quả cụ thể được ghi vào bảng sau, trong số đó có nhị ô không được rõ không gọi được (đánh dấu *):

Điểm số những lần bắn109876
Số lần bắn2542*15*

Em hãy tìm lại các số trong nhị ô đó.

* Lời giải:

- hotline số lần bắn lấy điểm 8 là x, số lần bắn ăn điểm 6 là y.

Điều khiếu nại x, y ∈ N; x * lấy ví dụ như 10 (Bài 37 trang 24 SGK Toán 9 Tập 2): Hai vật vận động đều trên một con phố tròn đường kính 20cm , xuất hành cùng một lúc, từ và một điểm. Nếu hoạt động cùng chiều thì cứ 20 giây bọn chúng lại gặp mặt nhau. Nếu chuyển động ngược chiểu thì cứ sau 4 giây bọn chúng lại chạm mặt nhau. Tính gia tốc của mỗi vật.

* Lời giải:

- Gọi gia tốc của hai đồ dùng lần lượt là x (cm/s) và y (cm/s)

Điều kiện x , y > 0.

- Chu vi vòng tròn là : 20.π (cm). (Chu vi mặt đường tròn bán kính R là: p. = 2πR= πd trong các số ấy d là đường kính của mặt đường tròn)

- Khi chuyển động cùng chiều, cứ trăng tròn giây bọn chúng lại gặp nhau, nghĩa là quãng con đường 2 thiết bị đi được trong trăng tròn giây chênh lệch nhau đúng bởi 1 vòng tròn

⇒ Ta tất cả phương trình: 20x – 20y = 20π ⇔ x - y = π. (1)

- Khi chuyển động ngược chiều, cứ 4 giây chúng lại gặp nhau, tức thị tổng quãng mặt đường hai đồ vật đi được vào 4 giây là đúng 1 vòng tròn

⇒ Ta có phương trình: 4x + 4y = 20π ⇔ x + y = 5π (2)

Từ (1) với (2) ta có hệ phương trình:

*

→ Vậy tốc độ của hai trang bị là 3π cm/s, 2π cm/s.

* lấy ví dụ như 11 (Bài 38 trang 24 SGK Toán 9 Tập 2): nếu hai vòi nước cùng chảy vào một trong những bể nước cạn khô (không gồm nước) thì bể đang đầy trong 1 giờ đôi mươi phút. Trường hợp mở vòi trước tiên trong 10 phút cùng vòi thứ 2 trong 12 phút thì chỉ được 2/15 bể nước. Hỏi nếu như mở riêng biệt từng vòi thì thời gian để từng vòi tan đầy bể là bao nhiêu?

* Lời giải:

- gọi x (phút), y (phút) lần lượt là thời gian vòi đồ vật nhất, vòi lắp thêm hai chảy 1 mình để đầy bể. Điều kiện: x, y > 80.

- trong 1 phút vòi thứ nhất chảy được 1/x bể; vòi thứ hai chảy được 1/y bể.

- Sau 1 giờ trăng tròn phút = 80 phút, cả nhị vòi cùng chảy thì đầy bể bắt buộc ta gồm phương trình:

 

*

- Mở vòi đầu tiên trong 10 phút cùng vòi thứ hai trong 12 phút thì chỉ được 2/15 bể nước buộc phải ta tất cả phương trình:

*

Từ (1) cùng (2) ta bao gồm hệ phương trình:

 

*

Đặt u = 1/x với v = 1/y thì hệ trên trở thành:

*
 
*

 

*

 

*

- Ta thấy x, y thỏa mãn nhu cầu điều khiếu nại nên nếu rã một mình, để đầy bể vòi thứ nhất chảy trong 120 phút (= 2 giờ) , vòi trang bị hai 240 phút (= 4 giờ).

* lấy ví dụ 12 (Bài 39 trang 25 SGK Toán 9 Tập 2): Một người mua hai một số loại hàng và nên trả tổng số 2,17 triệu đồng, kể cả thuế giá chỉ trị gia tăng (VAT) với tầm 10% so với loại hàng đầu tiên và 8% đố với loại hàng máy hai. Nếu thuế vat ,là 9% đối với cả hai các loại hàng thì fan đó yêu cầu trả tổng cộng 2,18 triệu đồng. Hỏi nếu không kể thuế vat thì người đó buộc phải trả bao nhiêu tiền cho mỗi loại hàng?

* Lời giải:

- đưa sử giá của một số loại hàng đầu tiên và máy hai bên cạnh VAT theo lần lượt là x, y. Điều khiếu nại x, y > 0, triệu đồng; x II. Bài xích tập giải toán bằng phương pháp lập hệ phương trình lớp 9

* bài xích tập 1: biết rằng 15 quả tao với 8 trái thanh long nặng trĩu 7,1kg. 5 quả táo bị cắn nặng rộng 3 quả thanh long 100g. Hỏi từng quả táo, trái thanh long nặng bao nhiêu? (coi mỗi quả táo nặng hệt nhau và từng quả thanh long nặng nề như nhau).

* bài xích tập 2: Ở một doanh nghiệp lắp ráp xe cơ giới, bạn ta đính thêm 430 loại lốp đến 150 xe cộ gồm ô tô (4 bánh) cùng mô đánh (2 bánh). Hỏi mỗi đời xe có bao nhiêu chiếc?

* bài tập 3: Khối lượng của 600cm3 nhôm cùng 1,5dm3 sắt là 13,32kg. Tìm trọng lượng riêng của nhôm, hiểu được nó nhỏ tuổi hơn khối lượng riêng của fe là 5,1kg/dm3.

* bài xích tập 4: Tìm một số trong những có nhì chữ số, biết rằng tổng những chữ số của số đó bởi 9 với viết các chữ số theo tứ tự trái lại thì được một vài bằng 2/9 số ban đầu.

* bài tập 5: Hai tín đồ khách phượt xuất phát đôi khi từ hai tp cách nhau 38km. Họ đi trái chiều và gặp nhau sau 4 giờ. Hỏi gia tốc của từng người, biết rằng đến khi gặp nhau, người trước tiên đi được nhiều hơn fan thứ nhì 2km.

* bài bác tập 6: Một chiếc canô đi xuôi cái theo một khúc sông trong 3h và đi ngược loại trong 4 giờ, được 380km. Một lượt khác, canô này đi xuôi dòng trong 1 giờ và ngược cái trong trong vòng 30 phút được 85km. Hãy tính gia tốc thật (lúc nước lặng lặng) của canô và gia tốc của dòng nước (vận tốc thật của canô cùng của làn nước ở nhì lần là như nhau).

* bài tập 7: Một giá đựng sách gồm 3 ngăn. Số sách ở chống giữa nhiều hơn nữa số sách ở phòng dưới là 10% và nhiều hơn thế nữa số sách ở chống trên là 30%. Hỏi mỗi kệ đựng sách đựng bao các quyển, biết rằng số sách ở phòng dưới nhiều hơn thế nữa số sách ở chống trên là 80 quyển.

* bài xích tập 8: tuyến đường từ phiên bản A mang đến trạm xá gồm một đoạn lên dốc lâu năm 3km, đoạn ở ngang dài 12km cùng đoạn xuống dốc 6km. Một cán bộ đi xe vật dụng từ bản A cho trạm xá hết 1 tiếng 7 phút. Tiếp nối cán cỗ này từ trạm xá trở về phiên bản hết 1 giờ đồng hồ 16 phút. Hãy tính gia tốc của xe pháo máy thời điểm lên dốc với lúc xuống dốc, biết rằng trên đoạn đường nằm ngang, xe sản phẩm đi với vận tốc 18km/h và vận tốc khi lên dốc, xuống dốc trong những khi đi với lúc vè là như nhau.

Xem thêm: Các Dạng Bài Tập Về Đồ Thị Hàm Số Lớp 9 Cực Hay Có Giải Chi Tiết

Hy vọng với nội dung bài viết về quá trình giải bài bác toán bằng cách lập hệ phương trình thuộc ví dụ và bài bác tập vận dụng ở trên để giúp các em rèn được tài năng giải dạng toán này một bí quyết dễ dàng, chúc những em học tốt.